勾股定理超难的题十级以上再进吧!将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转,使点A落在BC边上的A',利用阴影部分面积完成勾股定理的证明.角ACB=90度,BC=a,AC=b,AB=c;求证:a平方+b平方=c平方.

Question

勾股定理 超难的题 十级以上再进吧!
将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转,使点A落在BC边上的A',利用阴影部分面积完成勾股定理的证明.角ACB=90度,BC=a,AC=b,AB=c;求证:a平方+b平方=c平方.

Answer 1

证明
作三角形A撇B撇C撇≌三角形ABC使点A的对应点A撇在BC上,连接AA撇 BB撇 延长B撇A撇交AB于点M 因为△A'B'C是由△ABC旋转所得 所以,Rt△ABC≌Rt△A'B'C 所以,∠A'B'C=∠ABC 延长B'A'交AB于点M 则,∠A'B'C+∠B'A'C=90° 而,∠B'A'C=∠MA'B（对顶角） 所以,∠MBA'+MA'B=90° 所以,B'M⊥AB 那么,Rt△ABC∽Rt△A'BM 所以,A'B/AB=A'M/AC 即,(a-b)/c=A'M/b 所以,A'M=(a-b)*b/c 那么,△ABB'的面积=(1/2)AB*B'M=(1/2)AB*[B'A'+A'M] =(1/2)*c*[c+(a-b)*b/c] =(1/2)c^2+(1/2)(a-b)*b =(1/2)[c^2+ab-b^2]…………………………………………（1） △B'A'B的面积=(1/2)A'B*B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab) 而△ABB'的面积=2*S△ABC+S△B'A'B 所以：(1/2)[c^2+ab-b^2]=2*[(1/2)ab]+(1/2)(a^2-ab) 则：c^2+ab-b^2=2ab+a^2-ab 所以：c的平方=a平方+b平方