如图,已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=3根号2,经过这个三角形重心的直线DE‖BC,分别交边AB、AC于点D和点E,P是线段DE上的一个动点,过点P分别作PM⊥BC,PF⊥AB,PG⊥AC,垂足分别为点M、F、G.设BM＝X,四边形AFP

Question

如图,已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=3根号2,经过这个三角形重心的直线DE‖BC,分别交边AB、AC于点D和点E,P是线段DE上的一个动点,过点P分别作PM⊥BC,PF⊥AB,PG⊥AC,垂足分别为点M、F、G.设BM＝X,四边形AFPG的面积为y.
（1）求PM的长
（2）求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
（3）连接MF,MG,当△PMF与PMG相似时,求BM的长
(证明过程）

Answer 1

①PM＝⅓BC的中线（也是中垂线）＝⅓sin45º3√2＝1(勾股定理也可求得）.
②∵BC＝6（勾股定理）,
DE＝4（等腰直角△ADE∽等腰直角△ABC,对应线段比等于相似比）,
DP＝x⅔,EP＝4－x⅔；则FP＝DPsin45º＝x√2／3,GP＝EPsin45º＝2√2－x√2／3;
∴矩形（或正方形）AFPG面积：y＝FP·GP＝4x／3－2x²／9；
定义域：0＜x＜12(满足12x＞x²).
③∵△PMF∽△PMG,相似比为1（有公共边PM）,
故FP＝GP,P为DE中点,则M也为BC中点；
∴BM＝3.