已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=12BF．

Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证： CE=(1)/(2) BF ．

Answer 1

证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，
∴BD=DC，且∠BDC=90°，
∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF=AC．

（2）由（1）得BF=AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
∴在△ABE和△CBE中，

∠ABE=∠CBE

BE=BE

∠AEB=∠CEB=90°

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴CE=AE= (1)/(2) AC= (1)/(2) BF．