如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）连接EF，M为EF的中点，AB=4，AD=2，设DE=x，①求点M到FC的距离（用含x的

Question

如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE∽△ABF；
（2）连接EF，M为EF的中点，AB=4，AD=2，设DE=x，
①求点M到FC的距离（用含x的代数式表示）；
②连接BM，设BM²=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM的长度的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴∠ABF=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
又∵∠D=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△ABF；

（2）①如图，取FC的中点H，连接MH，
∵M为EF的中点，
∴MH∥DC，MH=(1)/(2)EC，
∵在矩形ABCD中，∠C=90°，
∴MH⊥FC，即MH是点M到FC的距离，
∵DE=x，DC=AB=4，
∴EC=4-x，
∴MH=(1)/(2)EC=2-(1)/(2)x，
即点M到FC的距离为MH=2-(1)/(2)x；
②∵△ADE∽△ABF，
∴(DE)/(AD)=(BF)/(AB)，
∴(x)/(2)=(BF)/(4)，
∴BF=2x，FC=2+2x，FH=CH=1+x，
∴BH=|BF-HF|=|x-1|，
∵MH=2-(1)/(2)x，
∴在Rt△MHB中，BM²=BH²+MH²=（2-(1)/(2)x）²+（x-1）²=(5)/(4)x²-4x+5，
∴y=(5)/(4)x²-4x+5（0＜x＜4）
∵y=(5)/(4)x²-4x+5=(5)/(4)（x²-(16)/(5)x+(64)/(25)）+5-(16)/(5)=(5)/(4)（x-(8)/(5)）²+(9)/(5)，
当x=(8)/(5)时，BM²有最小值(9)/(5)，
此时，BM的最小值是(3√(5))/(5)．