（2014•北京）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体

Question

（2014•北京）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F分别是A₁C₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B₁BCC₁；
（Ⅱ）求证：C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，
∴BB₁⊥AB，
∵AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥B₁BCC₁，
∵AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥B₁BCC₁；
（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则
∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=(1)/(2)AC，
∵E是A₁C₁的中点，
∴FG∥EC₁，FG=EC₁，
∴四边形FGEC₁为平行四边形，
∴C₁F∥EG，
∵C₁F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=√(3)，
∴V_E-ABC=(1)/(3)S△ABC•AA1=(1)/(3)×(1)/(2)×√(3)×1×2=(√(3))/(3)