如图，在多面体ABCDE中，平面ABE⊥平面ABCD，△ABE是等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，AB=AD=12BC=2，M是EC的中点．（1）求证：DM∥平面ABE；（2）求三棱锥M-BDE的体积．

Question

如图，在多面体ABCDE中，平面ABE⊥平面ABCD，△ABE是等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，AB=AD=(1)/(2)BC=2，M是EC的中点．

（1）求证：DM∥平面ABE；
（2）求三棱锥M-BDE的体积．

Answer 1

（满分12分）
证明：（I）方法一：取BE的中点O，
连接OA、OM，…（1分）
因为O、M分别为线段BE、CE的中点，
所以OM=(1)/(2)BC  …（2分）
又因为AD=(1)/(2)BC，所以OM=AD …（3分）
所以四边形OMDA为平行四边形，
所以DM∥AO，…（4分）
又因为AO⊂面ABE，MD⊄面ABE，所以DM∥平面ABE； …（6分）
方法二：取BC的中点N，连接DN、MN，…（1分）
因为M、N分别为线段CE、BC的中点，所以MN∥BE…（2分）
又因为BM⊂面ABE，MN⊄面ABE，所以MN∥平面ABE，…（3分）
同理可证DN∥平面ABE，…（4分）
MN∩DN=N，所以平面DMN∥平面ABE，…（5分）
又因为DM⊂面DMN，所以DM∥平面ABE…（6分）
（II）方法一：接（1）的方法一
因为平面ABE∩底面ABCD=AB
又因为平面ABE⊥底面ABCD，AB⊥BC
且BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥底面ABE，…（7分）
OA⊂平面ABE，所以BC⊥AO…（8分）
又BE⊥AO，BC∩BE=B，
所以AO⊥平面BCE…（9分）
由（1）知DM=AO=√(3)，DM∥AO，
所以DM⊥平面BCE …（10分）
VM-BDE=VD-MBE=(1)/(3)×(1)/(2)×2×2×√(3)=(2√(3))/(3)…（12分）
方法二：取AB的中点G，连接EG，
因为△ABE是等边三角形，所以EG⊥AB…（7分）
又因为平面ABE∩底面ABCD=AB
又因为平面ABE⊥底面ABCD，且EG⊂平面PAB，
所以EG⊥底面ABCD，即EG为四棱锥P-ABCD的高…（8分）
因为M是EC的中点，所以M-BCD的体积是E-BCD体积的一半，
所以计算三棱锥M-BDE的体积即计算三棱锥E-BDC体积减去三棱锥M-BDC的体积…（10分）
所以VM-BDE=(1)/(2)×(1)/(3)×(1)/(2)×2×4×√(3)=(2√(3))/(3)
即三棱锥M-BDE的体积为(2√(3))/(3)…（12分）