以三角形ABC两边为直角边向外作等腰直角三角形如图1.以三角形ABC为边AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和三角形ACD,M是BC的中点（1）当角BAC=90°线段AM与线段ED的关系是?（2）当角BAC大于90

Question

以三角形ABC两边为直角边向外作等腰直角三角形
如图1.以三角形ABC为边AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和三角形ACD,M是BC的中点（1）当角BAC=90°线段AM与线段ED的关系是?（2）当角BAC大于90°时线段AM与线段ED的关系是?（3）如图3,若以三角形ABC的边AB,AC为直角边,向内作等腰直角三角形ABE和三角形ACD,其它条件不变,试探究线段AM与DE之间的关系,并证明你的结论.

Answer 1

(1)ED=2AM.理由如下：
△ABC≌△AED（S,A,S）
∴BC=ED,
又∠BAC=90°,AM是BC的中线,
∴AM=1/2BC,即ED=2AM.
(2)∠BAC＞90°时,ED=2AM,结论不变.
延长AM到F,使AM=MF,连CF,
△ABM≌△FCM.（S,A,S）
∴CF=AB=AE,
又AC=AD,∠ACF=180°-∠BAC,
∠EAD=180°-∠BAC,
∴∠ACF=∠EAD,
∴△EAD≌△FCA,
∴ED=AF=2AM.
（3）DE=2AM,结论不变.
证明方法同（2）.
延长AM到F,使AM=MF,
可证BF=AC=AD,AB=AE,
∠DAE=90°+90°-∠BAC,
∠ABF=180°-∠BAM-∠F=180°-BAC,
∴△ADE≌△BFA,（S,A,S）
∴DE=2AM.