等比数列{an}（an>0，n∈N*）中，公比q∈（0，1），a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小

Question

等比数列{a_n}（a_n>0，n∈N^*）中，公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃与a₅的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当n≥2时，比较S_n与b_n的大小．

Answer 1

（1）由a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，得(a3+a5)2=25，
∵a_n>0，∴a₃+a₅=5，
又2是a₃与a₅的等比中项，∴a₃•a₅=4，
∵公比q∈（0，1），
∴a₃=4，a₅=1，从而q=(1)/(2)，
∴a_n=2^5-n．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=5-n，
∴S_n=(9n-n2)/(2)，
S_n-b_n=(9n-n2)/(2)-（5-n）=(-(n-1)(n-10))/(2)．
∵n≥2，
∴（ⅰ）当n>10时，S_n<b_n；
（ⅱ）当n=10时，S_n=b_n；
（ⅲ）当2≤n<10时，S_n>b_n．