已知递推数列公式求通项公式怎样求An=(n－1)(An-2＋An-1)的二阶递推数列的通项公式?谢了

Question

已知递推数列公式求通项公式
怎样求An=(n－1)(An-2＋An-1)的二阶递推数列的通项公式?谢了

Answer 1

An=(n－1)(An-2＋An-1)
An-1=(n－2)(An-3＋An-2)
两式相减得
An-An-1=(n－1)(An-2＋An-1)-(n－2)(An-3＋An-2)=An-2+(n-1)An-1-(n－2)An-3
于是
An=An-2+nAn-1-(n-2)An-3
得An-nAn-1=An-2-(n-2)An-3
令Bn=An-nAn-1,则有Bn=B(n-2)
本题显然还需知A1、A2,进而得A3=2(A1+A2).于是
B2=A2-2A1,B3=A3-3A2=2(A1+A2)-3A2=2A1-A2=-B2
则有B2k=B2=A2-2A1=A2k-2kA2k-1=(-1)^2k*B2
B2k+1=B3=-B2=2A1-A2=A2k+1-(2k+1)A2k=(-1)^(2k+1)*B2
二式可统一为
An-nAn-1=(-1)^n*B2
按说到此就可以求出来了.如果有A2=2A1,则B2=0,就有An=nAn-1=n!A1.否则的话是没有统一的通项公式的.