设B是m×n矩阵，BBT可逆，A=E-BT（BBT）-1B，其中E是n阶单位矩阵．（1）证明：AT=A．（2）证明：A2=A．（3）若r（A）=r＜n，且A可对角化，求行列式|A+E|．

Question

设B是m×n矩阵，BB^T可逆，A=E-B^T（BB^T）^-1B，其中E是n阶单位矩阵．
（1）证明：A^T=A．
（2）证明：A²=A．
（3）若r（A）=r＜n，且A可对角化，求行列式|A+E|．

Answer 1

证明：（1）A^T=[E-B^T（BB^T）^（-1）B]^T
=E^T-[B^T（BB^T）^（-1）B]^T
=E-B^T[（BB^T）^T]^（-1）（B^T）^T
=E-B^T（BB^T）^（-1）B=A．
（2）A²=[E-B^T（BB^T）^（-1）B]²
=E²+B^T（BB^T）^（-1）[BB^T（BB^T）^（-1）]B-2B^T（BB^T）^（-1）B
=E+B^T（BB^T）^（-1）B-2B^T（BB^T）^（-1）B
=E-B^T（BB^T）^（-1）B=A．
（3）由于A²=A，因而A的特征值只能是0和1
又由于r（A）=r＜n，且A可对角化
∴A的特征值有r个1和n-r个零
∴|A+E|=2^r．