问一道矩阵的问题A是n阶实对称矩阵,且A^2=0,证明A=0书上的证法是：因为A是实对称矩阵,A必可对角化,设P^(-1)AP=∧,则A=P∧P^(-1),由此可得A^2=P(∧^2)P^(-1),由于A^2=0,故∧^2=0,由此可得

Question

问一道矩阵的问题
A是n阶实对称矩阵,且A^2 =0 ,证明 A=0
书上的证法是：
因为A是实对称矩阵,A必可对角化,
设P^(-1) A P = ∧ ,则 A=P ∧ P^(-1),
由此可得 A^2 = P (∧^2) P^(-1),由于A^2=0,故 ∧^2 =0 ,
由此可得 ∧=0,所以,A=P ∧ P^(-1)=0.
我的问题是：
1、"设P^(-1) A P = ∧ ,则 A=P ∧ P^(-1),
由此可得 A^2 = P (∧^2) P^(-1),"
这步是怎么推出来的?原理是什么?
2、A^2=0,故 ∧^2 =0
这步是怎么推出来的?原理是什么?

Answer 1

1：A^2 = P ∧ P^(-1)P ∧ P^(-1) 因为中间的P^(-1)P=E
所以A^2 = P (∧^2) P^(-1)
2：A^2 = P (∧^2) P^(-1)
可推出P^(-1)A^2 P=P^(-1) P (∧^2) P^(-1)P=(∧^2)
因为A^2=0,故左边P^(-1)A^2 P=0
所以∧^2 =0