光滑水平面与一半径为R=2.5m的竖直光滑圆轨道平滑连接，如图所示，物体可以由圆轨道底端阀门（图中未画出）进入圆轨道，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为m

Question

光滑水平面与一半径为R=2.5m的竖直光滑圆轨道平滑连接，如图所示，物体可以由圆轨道底端阀门（图中未画出）进入圆轨道，水平轨道上有一轻质弹簧，其左端固定在墙壁上，右端与质量为m=0.5kg的小球A接触但不相连，今向左推小球A压缩弹簧至某一位置后，由静止释放小球A，测得小球A到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小为F_N=10N，g=10m/s²．
（1）求弹簧的弹性势能E_P；
（2）若弹簧的弹性势能E_P=25J，小球进入圆轨道后阀门关闭，通过计算说明小球会不会脱离圆轨道，若脱离，求在轨道上何处脱离（可用三角函数表示），若不能脱离，求小球对轨道的最大与最小压力的差△F．

Answer 1

（1）对小球在轨道最高点时受力分析，根据牛顿第二定律：
F_N′+mg=m(v2)/(R)
F_N′=F_N
联立并代入数据得：v=5√(3)m/s
根据能量的转化与守恒：E_p=mg2R+(1)/(2)mv²=43.75J
（2）若弹簧的弹性势能为：E_P=25J，
根据能量的转化与守恒：E_p=mg2R+(1)/(2)mv′²
得：v′=0＜√(gR)
故小球会脱离圆轨道；
设小球在与圆心连线与竖直方向夹角为θ的位置脱离轨道，

则：mgcosθ=m(v2)/(R)
E_P=(1)/(2)mv²+mg（R+Rcosθ）
联立得：cosθ=(2)/(3)
θ=arccos(2)/(3)
（1）弹簧的弹性势能E_P为43.75J；
（2）若弹簧的弹性势能E_P=25J，小球进入圆轨道后阀门关闭，小球会脱离圆轨道，在轨道上与圆心连线与竖直方向夹角为arccos(2)/(3)处脱离．