（2014•烟台一模）光滑圆轨道和两倾斜直轨道组成如图所示装置，其中直轨道bc粗糙，直轨道cd光滑，两轨道相接处为一很小的圆弧．质量为m=0.1kg的滑块（可视为质点）在圆轨道上做圆周运

Question

（2014•烟台一模）光滑圆轨道和两倾斜直轨道组成如图所示装置，其中直轨道bc粗糙，直轨道cd光滑，两轨道相接处为一很小的圆弧．质量为m=0.1kg的滑块（可视为质点）在圆轨道上做圆周运动，到达轨道最高点a时的速度大小为v=4m/s，当滑块运动到圆轨道与直轨道bc的相切处b时，脱离圆轨道开始沿倾斜直轨道bc滑行，到达轨道cd上的d点时速度为零．若滑块变换轨道瞬间的能量损失可忽略不计，已知圆轨道的半径为R=0.25m，直轨道bc的倾角θ=37°，其长度为L=26.25m，d点与水平地面间的高度差为h=0.2m，取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6．求：
（1）滑块在圆轨道最高点a时对轨道的压力大小；
（2）滑块与直轨道bc问的动摩擦因数；
（3）滑块在直轨道bc上能够运动的时间．

Answer 1

（1）在圆轨道最高点a处对滑块由牛顿第二定律得：mg+FN＝m(v2)/(R)
所以FN＝m((v2)/(R)−g)=5.4N  
由牛顿第三定律得滑块在圆轨道最高点a时对轨道的压力大小为5.4N  
（2）从a点到d点全程由动能定理得：mg(R+Rcosθ+Lsinθ−h)−μmgcosθ•L＝0−(1)/(2)mv2
μ＝(g(R+Rcosθ+Lsinθ−h)+(v2)/(2))/(gLcosθ)=0.8  
（3）设滑块在bc上向下滑动的加速度为a₁，时间为t₁，向上滑动的加速度为a₂，时间为t₂；在c点时的速度为v_c．
由c到d：(1)/(2)m

v

2 c

＝mgh
vc＝√(2gh)=2m/s  
a点到b点的过程：(1)/(2)mv2+mgR(1+cosθ)＝(1)/(2)m

v

2 b

所以vb＝√(v2+2gR(1+cosθ))=5m/s  
在轨道bc上：
下滑：L＝(vb+vc)/(2)t1
  t1＝(2L)/(vb+vc)=7.5s  
上滑：mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
a₂=gsinθ+μgcosθ=12.4m/s²  
0=v_c-a₂t₂
t2＝(vc)/(a2)＝(5)/(31)s=0.16s  
因为μ＞tanθ，所以滑块在轨道bc上停止后不再下滑
滑块在两个斜面上运动的总时间：t_总=t₁+t₂=（7.5+0.16）s=7.66s  
答：（1）滑块在圆轨道最高点a时对轨道的压力大小是5.4N；
（2）滑块与直轨道bc问的动摩擦因数是0.8；
（3）滑块在直轨道bc上能够运动的时间是7.66s．