设ABCD均为n阶矩阵,且A与B相似,C与D相似,证明：AOBOOC与OD相似

Question

设ABCD均为n阶矩阵,且A与B相似,C与D相似,证明：A O B O O C与O D相似

Answer 1

由于A与B相似,C与D相似,可知必存在可逆矩阵P,Q,使得P^-1AP=B,Q^-1CQ=D,由于P与Q的行列式均不为零,所以矩阵((P,0)^T,(0,Q)^T)的行列式|P 0|=|P||Q|也不为零,因此矩
|0 Q|
阵((P,0)^T,(0,Q)^T)也可逆,根据对角矩阵的性质,((P,0)^T,(0,Q)^T)^-1=((P^-1,0)^T,(0,Q^-1)^T),则((P^-1,0)^T,(0,Q^-1)^T)((A,0)^T,(0,C)^T)((P,0)^T,(0,Q)^T)=((P^-1AP,0)^T,(0,Q^-1CQ)^T)=((B,0)^T,(0,D)^T),所以((A,0)^T,(0,C)^T)与((B,0)^T,(0,D)^T)相似.