（2013•深圳二模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AA1，且AC=2BC，点D是AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）证明：平面ABC1⊥平面B1CD．

Question

（2013•深圳二模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁，且AC=√(2)BC，点D是AB的中点．
（1）证明：AC₁∥平面B₁CD；
（2）证明：平面ABC₁⊥平面B₁CD．

Answer 1

证明：（I）设BC₁与B₁C相较于点E，连接DE．
由题意可得D、E分别是AB、BC₁的中点．
∴DE∥AC₁．
DE⊂平面B₁CD，A₁C⊄平面B₁CD．
∴A₁C∥平面B₁CD．
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AA₁=BB₁=CC₁，
∴四边形BCC₁B₁是菱形，
∴B₁C⊥BC₁．
由AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁，∴BB₁⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC．
∴BB₁⊥AB，
又∵AB=BC，且AC＝√(2)BC，
∴AB⊥BC．而AB⊥平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C，
又AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁．
而B₁C⊂平面B₁CD，∴平面ABC₁⊥平面B₁CD．