如图，△ABC中，∠C=60°，AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA、AD、BE交于点P．求证：（1）∠APB=120°；（2）点P在∠C的平分线上；（3）AB=AE+BD．

Question

如图，△ABC中，∠C=60°，AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA、AD、BE交于点P．求证：

（1）∠APB=120°；
（2）点P在∠C的平分线上；
（3）AB=AE+BD．

Answer 1

证明：（1）∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABP=(1)/(2)∠ABC，∠BAP=(1)/(2)∠BAC，
∴∠BAP+∠MBP=(1)/(2)（∠ABC+∠BAC）=(1)/(2)（180°-∠C）=60°，
∴∠APB=120°；

（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴PF=PG，PF=PH，
∴PH=PG，
∴点P在∠C的平分线上；

（3）如图2，在AB上取点M使AM=AE，连接PM
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠PAM=∠PAE，
在△AMO与△AEO中，

AP=AP

∠PAM=∠PAE

AM=AE

，
∴△AMP≌△AEP，
∴∠APM=∠APE=180°-∠APB=60°，
∴∠BPM=180°-（∠APM+∠APE）=60°，∠BPD=∠APE=60°，
∴∠BPM=∠BPD，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠MBP=∠DBP，
在△BOM与△BOD中，

∠MBP=∠DBP

BP=BP

∠BPD=∠BPM

，
∴△BOM≌△BOD，
∴BM=BD，
∴AB=AM+BM=AE+BD．