（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时

Question

（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PC∥DB；
（2）当t为何值时，PC⊥BC；
（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

（1）∵D（-5，4），B（-3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，
∴DC=5，OC=4，OB=3，

∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴DC∥BP，
∵PC∥DB，
∴四边形DBPC是平行四边形，
∴DC=BP=5，
∴OP=5-3=2，
2÷1=2，
即当t为2秒时，PC∥BD；

（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，
∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，
∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，
∴∠CPO=∠BCO，
∴△PCO∽△CBO，
∴(OC)/(BO)=(OP)/(CO)，
∴(4)/(3)=(PO)/(4)，
∴OP=(16)/(3)，
(16)/(3)÷1=(16)/(3)，
即当t为(16)/(3)秒时，PC⊥BC；

（3）设⊙P的半径是R，
分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，
如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，

则PM=OC=4=OP，
4÷1=4，
即t=4；
②如图2，当⊙P与BC相切时，

∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，
∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，
∴△COB∽△PMB，
∴(CO)/(PM)=(BC)/(BP)，
∴(4)/(R)=(5)/(3+R)，
R=12，
12÷1=12，
即t=12秒；
③根据勾股定理得：BD=√(22+42)=2√(5)，
如图3，当⊙P与DB相切时，

∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，
∴△ADB∽△MPB，
∴(AD)/(PM)=(DB)/(BP)，
∴(4)/(R)=

2

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问题解析

（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；
（2）证△PCO∽△CBO，得出(4)/(3)=(PO)/(4)，求出OP=(16)/(3)即可；
（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；
②当⊙P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出(4)/(R)=(5)/(3+R)，求出R=12即可；③当⊙P与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出(4)/(R)=(2√(5))/(3+R)，求出R即可．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

本题考查了勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算和推理能力．

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