如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a，（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD1A1；（Ⅱ）求异面直线AE和CD1所成角的余弦值．

Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD₁的中点，AD=AA₁=a，AB=2a，

（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求异面直线AE和CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取CD的中点K，连结MK，NK
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、K分别为AK、CD₁、CD的中点
∴MK∥AD，NK∥DD₁
∵MK、NK⊄面ADD₁A₁，AD⊂面ADD₁A₁，DD₁⊂面ADD₁A₁，
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∵MK、NK是平面MNK内的相交直线
∴面MNK∥面ADD₁A₁
又∵MN⊂面MNK，∴MN∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）取A₁D₁的中点F，连结AF、EF，
则D1F

∥

.

.

CE，从而四边形CEFD₁为平行四边形，
∴EF∥CD₁，可得∠AEF（或其补角）为异面直线AE和CD₁所成的角 
在△AEF中，可得
AF＝(√(5)a)/(2)，AE＝(√(17)a)/(2)，EF＝CD1＝√(5)a 
由余弦定理，得
cos∠AEF＝(AE2+EF2−AF2)/(2AE•EF)＝(8√(85))/(85) 
∴异面直线AE和CD₁所成角的余弦值为(8√(85))/(85)．