z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微是该函数在点（x0，y0）处连续的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件

Question

z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微是该函数在点（x₀，y₀）处连续的（　　）

A. 必要非充分条件

B. 充分非必要条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件

Answer 1

由于函数z=f（x，y）在（x₀，y₀）处可微，则
△z=(∂z)/(∂x)|(x0，y0)△x+(∂z)/(∂y)|(x0，y0)△y+o(√(x2+y2))
∴

lim

(△x，△y)→(0，0)

△z=

lim

→0

[f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)]=0
即

lim

(△x，△y)→(0，0)

f(x+△x，y+△y)=f(x0，y0)
因而f（x，y）在 （x₀，y₀）处连续
即可微是连续的必要条件
但是连续不能推出可微，如：
f(x，y)=

(x2+y)sin((1)/(x2+y2))	，(x，y)≠(0，0)
0	，(x，y)=(0，0)

，则f（x，y）在点（0，0）连续，但是
f′y(0，0)=

lim

y→0

(f(0，y)-f(0，0))/(y)=

lim

y→0

(ysin(1)/(|y|))/(y)=

lim

y→0

sin(1)/(|y|)不存在
从而f（x，y）在点（0，0）不可微
故可微是连续的必要不充分条件．
故选：A．