（2014•常德三模）已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=-13x+1交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P

Question

（2014•常德三模）已知抛物线y=ax²-2x+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=-(1)/(3)x+1交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△BCE∽△BOD；
（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？

Answer 1

（1）抛物线y=ax²-2x+c中，对称轴x=-(b)/(2a)=-(−2)/(2a)=1，∴a=1；
将点A（-1，0）代入y=ax²-2x+c中，得：1+2+c=0，c=-3；
∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）∵抛物线的解析式：y=x²-2x-3=（x-1）²-4=（x+1）（x-3），
∴点C（0，-3）、B（3，0）、E（1，-4）；
易知点D（0，1），则有：
OD=1、OB=3、BD=√(10)；
CE=√(2)、BC=3√(2)、BE=2√(5)；
∴(OD)/(CE)=(OB)/(BC)=(BD)/(BE)；
∴△BCE∽△BOD．

（3）S_△BOE=(1)/(2)×BO×|y_E|=(1)/(2)×3×4=6；
∴S_△BDP=(1)/(2)×BD×h=S_△BOE=6，即 h=(12)/(√(10))．
在y轴上取点M，过点M作MN⊥BD于N，使得MN=h=(12)/(√(10))；
在Rt△MND中，sin∠MDB=(3)/(√(10))，且 MN=(12)/(√(10))；则 MD=(MN)/(sin∠MDB)=4；
∴点M（0，-3）或（0，5）．
过点M作直线l∥MN，如右图，则 直线l：y=-(1)/(3)x-3或y=-(1)/(3)x+5，联立抛物线的解析式有：

y＝−(1)/(3)x−3

y＝x2−2x−3

或

y＝−(1)/(3)x+5

y＝x2−2x−3

解得：

x1＝0

y1＝−3

、

x2＝(5)/(3)

y2＝−(32)/(9)

、

x3＝(5+√(313))/(6)

y3＝(85−√(313))/(18)

、

x4＝(5−√(313))/(6)

y4＝(85+√(313))/(18)

∴当点P的坐标为（0，-3）、（(5)/(3)，-(32)/(9)）、（(5+√(313))/(6)，(85−√(313))/(18)）、（(5−√(313))/(6)，(85+√(313))/(18)）时，△BDP的面积等于△BOE的面积．