质点A沿直线以vA=5m/s匀速运动，某时刻（t=0）在A后面与A相距△x=7.75m的质点B由静止开始起动，质点B运动方向与A一致，其加速度随时间周期性变化，加速度随时间变化的图象如图所示．

Question

质点A沿直线以v _A =5m/s匀速运动，某时刻（t=0）在A后面与A相距△x=7.75m的质点B由静止开始起动，质点B运动方向与A一致，其加速度随时间周期性变化，加速度随时间变化的图象如图所示．求：
（1）质点B追上A之前两者间的最大距离；
（2）B出发后经多少时间追上A？

Answer 1

（1）质点B的速度为5m/s时，A、B之间的距离最大
设质点B速度达到5m/s若一直做匀加速，总共需要的时间为△t，
由运动学公式： △t=(vA)/(a) =2.5s
由质点B加速度与时间关系知，经过时间t ₁ =4.5s时，A、B之间的距离最大．
在时间t ₁ 内质点A发生的位移x _A =v _A t ₁ =22.5m，
质点B在第1s内的位移 x 1 =(1)/(2) a

t

21

=1m
质点B在第2s内的位移x ₂ =at ₁ △T，式中△T=1s，代入数据得，x ₂ =2m．
质点B在第3s内的位移 x 3 =a t 1 △T+(1)/(2) a(△T ) 2 =3m
质点B在第ns（n为整数）内的位移x _n =n（m）质点B在t ₁ 时间内的位移 x B =1+2+3+4+2a△T×0.5+(1)/(2) a×0. 5 2 (m) =12.25m
故A、B之间的最大距离△x _m =△x+x _A -x _B =18m．
（2）设经历时间t（t为正整数）B追上A时间t内A的位移x _A ′=v _A t
时间t内B的位移x _B ′=1+2+…+t= (t(t+1))/(2)
x _B ′=x _A ′+△x，此式无整数解，但可求得10≤t≤11s，
10s内A发生的位移x _A1 =v _A ×10=50m，B发生的位移 x B1 =(10×11)/(2) (m)=55m ，
故在10s后，B需比A多发生的位移△x′=△x+x _A1 -x _B1 =2.75m
设10s后需时间t′B追上A则 5a△Tt′+(1)/(2) at ′ 2 - v A t′=2.75 ，
解得t′=0.5s
故B出发后需经过时间t _B =10+t′=10.5s追上A．
答：（1）质点B追上A之前两者间的最大距离为18m；
（2）B出发后经10.5s时间追上A．