已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A、B两点．若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2的面积之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，则

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线交双曲线右支于A、B两点．若△ABF₁是以B为顶点的等腰三角形，且△AF₁F₂，△BF₁F₂的面积之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，则双曲线的离心率为

(√(21))/(3)

(√(21))/(3)

．

Answer 1

因为△AF₁F₂，△BF₁F₂的面积之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，
所以AF₂=2F₂B，
设BF₂=m，则AF₂=2m，所以BF₁=AB=3m．
又BF₁-BF₂=2m=2a，所以BF₁=3a，
又AF₁-AF₂=AF₁-2m=2a，所以AF₁=2a+2m=4a，
所以cos∠BAF₁=(2)/(3)等边三角形，
在△AF₁F₂中，4c2＝16a2+4a2−2•4a•2a•(2)/(3)，
∴3c²=7a²，
∴e＝(c)/(a)=(√(21))/(3)．
故答案为：(√(21))/(3)．