已知关于x的方程x^2-(m+n+1)x+m=0(n≥0)已知关于x的方程x^2-(m+n+1)x+m=0(n≥0)的两个实数根为α,β,且α≤β(1)试用含有α、β的代数式表示m和n;(2)求证:α≤1≤β;(3)若点P（α，β）在△ABC的三条边上运

Question

已知关于x的方程x^2-(m+n+1)x+m=0(n≥0)已知关于x的方程x^2-(m+n+1)x+m=0(n≥0)的两个实数根为α,β,且α≤β (1)试用含有α、β的代数式表示m和n; (2)求证:α≤1≤β; (3)若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别是A（1,2）、B（½，1）、C(1，1)，问是否存在点P，使M+N=5/4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1 由韦达定理得：α+β=m+n+1……①，αβ=m……② 解方程组得：m=αβ，n=α+β-αβ-1 2证明： 将②代入①得：α+β=αβ+n+1，整理得：(α-1)(1-β)=n 已知n≥0，则：(α-1)(1-β)≥0 解不等式得：β≤1≤α，或，α≤1≤β 已知：α≤β，所以：α≤1≤β 3在xoy坐标图中，画出△ABC，显然△ABC是直角三角形（证明略）。 将m+n=5/4代入①，得直线方程L：α+β=m+n+1=9/4……③ 若在△ABC的三条边存在点P（α，β），使得m+n=5/4成立， 则：L必须和线段AB，AC，BC相交！ RT△ABC在1/2≤α≤1区间内 a，将α=1/2，代入直线L，得：β=7/4，即：L和线段AB相交 AB方程为：β-2=(2-1)(α-1)/(1-1/2)，整理得：2α-β=0……④ 联立方程③④，解方程组得：α=3/4，β=3/2 b，将α=1，代入直线L，得：β=5/4，即：L和线段AC相交 α=1恰是AC的方程 结论：P点坐标为：P1(3/4，3/2)，P2(1，5/4)