已知函数f（x）=ln（ax+b）+ex-1（a≠0）．（Ⅰ）当a=-1，b=1时，判断函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若f（x）≤ex-1+x+1，求ab的最大值．

Question

已知函数f（x）=ln（ax+b）+e^x-1（a≠0）．
（Ⅰ）当a=-1，b=1时，判断函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）若f（x）≤e^x-1+x+1，求ab的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-1，b=1时，f（x）=ln（-x+1）+e^x-1，定义域为{x|x<1}，
当x≤0时，f（x）=ln（-x+1）+e^x-1>0，所以函数f（x）在（-∞，0]内无零点；
当0f′(x)=(1)/(x-1)+ex-1，因为(1)/(x-1)<-1，e^x-1<1，所以f′(x)=(1)/(x-1)+ex-1<0，
说明函数f（x）在（0，1）上单调递减，
又f（0）=e^-1>0，当x=1-(1)/(e)时，f(x)=e-(1)/(e)-1<e0-1=0，
所以函数f（x）在（0，1）内有且只有一个零点；
综上，函数f（x）的零点个数是1；…5分
（Ⅱ）若ln（ax+b）+e^x-1≤e^x-1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，设g（x）=ln（ax+b）-x-1，
若a<0，则当x→-∞时，显然g（x）>0，故不符合题意，所以a>0．…7分
g′(x)=(a)/(ax+b)-1=(-ax+a-b)/(ax+b)（ax+b>0），
当-(b)/(a)<x<1-(b)/(a)时，g'（x）>0，所以g（x）在(-(b)/(a)，1-(b)/(a))上单调递增；
当x>1-(b)/(a)时，g'（x）<0，所以g（x）在(1-(b)/(a)，+∞)上单调递减；
从而g(x)max=g(1-(b)/(a))=lna+(b)/(a)-2，
由题意可知g(x)max=g(1-(b)/(a))=lna+(b)/(a)-2≤0，所以b≤2a-alna，…9分
此时ab≤2a²-a²lna，令h（a）=2a²-a²lna，h'（a）=3a-2alna，
可知h（a）在(0，e(3)/(2))上单调增，在(e(3)/(2)，+∞)上单调减，
所以h(a)max=(1)/(2)e3，故ab的最大值为(1)/(2)e3．…12分．