设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N（μ，σ2）与N（μ，2σ2），其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=X-Y．（Ⅰ）求z的概率密度f（z，σ2）；（Ⅱ）设z1，z2，…，zn为取自Z的简单随机样本

Question

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N（μ，σ²）与N（μ，2σ²），其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=X-Y．
（Ⅰ）求z的概率密度f（z，σ²）；
（Ⅱ）设z₁，z₂，…，z_n为取自Z的简单随机样本，求σ²的极大似然估计量

̂

σ

2；
（Ⅲ）证明

̂

σ

2是σ²的无偏估计量．

Answer 1

（I）
因为X，Y相互独立且均服从于正态分布，所以Z=X-Y也服从于正态分布．
又因为：
E（Z）=E（X-Y）=E（X）-E（Y）=μ-μ=0，
D（Z）=D（X-Y）=D（X）+D（Y）=3σ²，
所以：Z～N（0，3σ²），
从而可得Z的概率密度为：
fZ(z，σ2)=(1)/(√(2π)√(3)σ)e−(z2)/(2•3σ2)=(1)/(√(6π)σ)e−(z2)/(6σ2)，-∞＜z＜+∞．

（II）
σ²的最大似然函数为：
L（σ²）=

n

π

i＝1

f(zi；σ2)=

n

π

i＝1

((1)/(√(6π)σ)e−(zi2)/(6σ2))，-∞＜z_i＜+∞，i=1，2，…，n．
两边取对数，得：
ln L（σ²）=

n

i＝1

(−ln√(6)π−(1)/(2)lnσ2−(zi2)/(6σ2))，
对上式两边求导，得：
(d lnL(σ2))/(dσ2)=

n

i＝1

(−(1)/(2σ2)+(zi2)/(6(σ2)2))=(1)/(6(σ2)2)(−3nσ2+

n

i＝1

zi2)．
令：(d lnL(σ2))/(dσ2)=0，
可得：σ²=(1)/(3n)

n

i＝1

zi2，
所以σ²的极大似然估计量为：

σ

2=(1)/(3n)

n

i＝1

zi2．

（III）
因为：E

σ

2=(1)/(3n)

n

i＝1

E(zi2)=(1)/(3n)•nE(Z2)=(1)/(3)（D（Z）+（E（Z））²）=(1)/(3)（3σ²+0）=σ²，
所以

σ

2为σ²的无偏估计．