对于任意x,y,fx满足fx+fy=f（x+y)-xy-1,f1=1,则对于正整数n,fn的表达式为

Question

对于任意x,y,fx满足fx+fy=f（x+y)-xy-1,f1=1,则对于正整数n,fn的 表达式为

Answer 1

令：x=n,y=1
代入得：f(n)+1=f(n+1)-n-1
整理得：f(n+1)-f(n)=n+2
将n=1、2、3…n依次代入上式得：
f(2)-f(1)=3
f(3)-f(2)=4
f(4)-f(3)=5
……
f(n)-f(n-1)=n+1
将以上等式相加,得：
f(n)-f(1)
=3+4+5+…+(n+1)
=(3+n+1)(n-1)/2
=(n+4)(n-1)/2
∵f(1)=1
∴f(n)=1+(n+4)(n-1)/2=(2+n²+3n-4)/2=(n²+3n-2)/2