已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)其中x,y∈R求f(2010)已知函数f(x)满足：√3f(x)-f(1/x)=x²求f(x)的最小值.

Question

已知函数f(x)满足：f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)【其中x,y∈R】
求f(2010)
已知函数f(x)满足：√3f(x)-f(1/x)=x²
求f(x)的最小值.

Answer 1

1) 取x=1,y=0,则 4f(1)*f(0)=f(1)+f(1),
所以,f(0)=1/2.
取y=1,则 4f(x)*f(1)=f(x+1)+f(x-1),
所以,f(x+1)=f(x)-f(x-1),
由上式,分别取x=1,2,3,4,5,6,7,...立得：
f(2)=-1/4,f(3)=-1/2,f(4)=-1/4,f(5)=1/4,f(6)=1/2,f(7)=1/4,f(8)=-1/4.
可以看出,上述各值出现周期为6的循环,
由于 2010=6*335,
所以,f(2010)=f(2004)=.=f(6)=f(0)=1/2.
2）√3f(x)-f(1/x)=x^2, （1）
以1/x代替上式中的x,则√3f(1/x)-f(x)=1/x^2, （2）
√3*（1）+（2）得 2f(x)=√3x^2+1/x^2,
由于x≠0,x^2>0,
因此 2f(x)=√3x^2+1/x^2≥2*√[√3x^2*1/x^2]=2*四次根号3,当且仅当 x^2=1/四次根号3时取等号,
所以,f(x)的最小值是：四次根号3.（3的开四次方）