设F(x)为f(x)的原函数,当x≥0时,有f(x)F(x)=(sin2x)的平方,且F(0)=1,f(x)≥0.试求f(x).由于(sin2x)的平方不能在问问里面显示,所以就这样表示!

Question

设F(x)为f(x)的原函数,当x≥0时,有f(x) F(x)=(sin2x)的平方,且F(0)=1,f(x)≥0.试求f(x).
由于(sin2x)的平方不能在问问里面显示,所以就这样表示!

Answer 1

对方程 f(x)F(x)=(sin2x)^2 两边积分得
{ f(x)F(x)dx={ (sin2x)^2 dx 标注:符号 { 表示积分号
因为 f(x)的原函数是 F(x)
所以 上面的式子与下面的等价
{ f(x)df(x)={ (sin2x)^2dx
=> 1/2f(x)^2 = { (1+cos4x)/2 dx
=> f(x)^2=1+1/4sin4x+C(常数)
又因为 F(0)=1
代入 f(x)F(x)=(sin2x)^2
得 f(0)=0
再代入前一式子 得 C=-1
f(x)^2=1+1/4*sin(4x)-1
=> f(x)=根号下{1+1/4sin(4x)-1}