早教吧作业答案频道 -->数学-->
已知函数f(x)=(ax+1)lnx-12ax2-bx+bex(a,b∈R).(1)若a=b=12,求函数F(x)=f(x)-axlnx-bex的单调区间;(2)若a=1,b=-1,求证:f(x)+12ax2+bx>lnx-1-2e-2.
题目详情
已知函数f(x)=(ax+1)lnx-
ax2-bx+
(a,b∈R).
(1)若a=b=
,求函数F(x)=f(x)-axlnx-
的单调区间;
(2)若a=1,b=-1,求证:f(x)+
ax2+bx>lnx-1-2e-2.
1 |
2 |
b |
ex |
(1)若a=b=
1 |
2 |
b |
ex |
(2)若a=1,b=-1,求证:f(x)+
1 |
2 |
▼优质解答
答案和解析
由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞).
(1)当a=b=
时,F(x)=f(x)-axlnx-
=lnx-
x2-
x,
F′(x)=
-
x-
=
.
令F'(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,F'(x)>0,此时F(x)单调递增;
当x>1时,F'(x)<0,此时F(x)单调递减.
∴函数F(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞).
(2)证明:若a=1,b=-1,原不等式等价于xlnx-
>-1-
令G(x)=xlnx-
,则G′(x)=
+lnx+1.
设g(x)=
+lnx+1,则g′(x)=-
+
=
.
设h(x)=ex-x,则h'(x)=ex-1>0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(0)=1,
∴g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.
又∵g(e-1)=e-e-1>0,g(e-2)=e-e-2-1<0,
即g(e-1)g(e-2)<0,
∴g(x)恰有一个零点x0∈(e-2,e-1),
即g(x0)=e-x0+lnx0+1=0,即-e-x0=lnx0+1.
当x∈(0,x0)时,g(x)<0,G(x)单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,G(x)单调递增.
∴G(x)≥G(x0)=x0lnx0-e-x0=x0lnx0+lnx0+1.
设ϕ(x)=xlnx+lnx+1,∵x∈(e-2,e-1),
∴ϕ′(x)=1+lnx+
>1-1+e>0,
∴ϕ(x)在(e-2,e-1)上单调递增,
∴ϕ(x)=xlnx+lnx+1,
∴G(x)≥G(x0)=ϕ(x0)>-1-2e-2,
综上可知,f(x)+
(1)当a=b=
1 |
2 |
b |
ex |
1 |
4 |
1 |
2 |
F′(x)=
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
2 |
-(x+2)(x-1) |
2x |
令F'(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,F'(x)>0,此时F(x)单调递增;
当x>1时,F'(x)<0,此时F(x)单调递减.
∴函数F(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞).
(2)证明:若a=1,b=-1,原不等式等价于xlnx-
1 |
ex |
2 |
e2 |
令G(x)=xlnx-
1 |
ex |
1 |
ex |
设g(x)=
1 |
ex |
1 |
ex |
1 |
x |
ex-x |
xex |
设h(x)=ex-x,则h'(x)=ex-1>0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(0)=1,
∴g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.
又∵g(e-1)=e-e-1>0,g(e-2)=e-e-2-1<0,
即g(e-1)g(e-2)<0,
∴g(x)恰有一个零点x0∈(e-2,e-1),
即g(x0)=e-x0+lnx0+1=0,即-e-x0=lnx0+1.
当x∈(0,x0)时,g(x)<0,G(x)单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,G(x)单调递增.
∴G(x)≥G(x0)=x0lnx0-e-x0=x0lnx0+lnx0+1.
设ϕ(x)=xlnx+lnx+1,∵x∈(e-2,e-1),
∴ϕ′(x)=1+lnx+
1 |
x |
∴ϕ(x)在(e-2,e-1)上单调递增,
∴ϕ(x)=xlnx+lnx+1,
∴G(x)≥G(x0)=ϕ(x0)>-1-2e-2,
综上可知,f(x)+
1 |
2
作业帮用户
2018-01-20
举报
![]()
举报该用户的提问
举报类型(必填)
举报理由(必填) 0/100
提交
![]() ![]() |
看了已知函数f(x)=(ax+1)...的网友还看了以下:
如图,已知在平行四边形ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长于点F.(1)求证:CD 2020-05-13 …
求函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为 2020-05-15 …
偶函数f(x)=ax2-2bx+1在(-∞,0]上递增,比较f(a-2)与f(b+1)的大小关系( 2020-05-20 …
哪个天才来证明一下下面这三个命题1.若y=f(x)既关于直线x=a对称,又关于x=b(a≠b)对称 2020-06-12 …
对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有()A.f(0)+f(2)< 2020-06-18 …
若偶函数f(x)在(,-∞-1]上是增函数,这下列关系中成立的是A.f(2)<f(-3/2)<f( 2020-08-01 …
若偶函数f(x)在x≤-1上是增函数,则下列关系中成立的是a.f(2)<f(-3/2)<f(-1) 2020-08-01 …
已知函数f(x)=(1/3)X*3+ax*2-bx(a,b属于R)1)若Y=f(x)图象上的点[1, 2020-12-08 …
重要推论1,若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a+b|2,若有f(X)的2个对称中心 2020-12-23 …
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx(1)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调 2020-12-31 …