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已知函数f(x)=(ax+1)lnx-12ax2-bx+bex(a,b∈R).(1)若a=b=12,求函数F(x)=f(x)-axlnx-bex的单调区间;(2)若a=1,b=-1,求证:f(x)+12ax2+bx>lnx-1-2e-2.

题目详情
已知函数f(x)=(ax+1)lnx-
1
2
ax2-bx+
b
ex
(a,b∈R).
(1)若a=b=
1
2
,求函数F(x)=f(x)-axlnx-
b
ex
的单调区间;
(2)若a=1,b=-1,求证:f(x)+
1
2
ax2+bx>lnx-1-2e-2.
▼优质解答
答案和解析
由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞).
(1)当a=b=
1
2
时,F(x)=f(x)-axlnx-
b
ex
=lnx-
1
4
x2-
1
2
x,
F′(x)=
1
x
-
1
2
x-
1
2
=
-(x+2)(x-1)
2x

令F'(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,F'(x)>0,此时F(x)单调递增;
当x>1时,F'(x)<0,此时F(x)单调递减.
∴函数F(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞).
(2)证明:若a=1,b=-1,原不等式等价于xlnx-
1
ex
>-1-
2
e2

G(x)=xlnx-
1
ex
,则G′(x)=
1
ex
+lnx+1.
g(x)=
1
ex
+lnx+1,则g′(x)=-
1
ex
+
1
x
=
ex-x
xex

设h(x)=ex-x,则h'(x)=ex-1>0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(0)=1,
∴g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.
又∵g(e-1)=e-e-1>0,g(e-2)=e-e-2-1<0,
即g(e-1)g(e-2)<0,
∴g(x)恰有一个零点x0∈(e-2,e-1),
g(x0)=e-x0+lnx0+1=0,即-e-x0=lnx0+1.
当x∈(0,x0)时,g(x)<0,G(x)单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,G(x)单调递增.
G(x)≥G(x0)=x0lnx0-e-x0=x0lnx0+lnx0+1.
设ϕ(x)=xlnx+lnx+1,∵x∈(e-2,e-1),
ϕ′(x)=1+lnx+
1
x
>1-1+e>0,
∴ϕ(x)在(e-2,e-1)上单调递增,
∴ϕ(x)=xlnx+lnx+1,
G(x)≥G(x0)=ϕ(x0)>-1-2e-2,
综上可知,f(x)+
1
2
作业帮用户 2018-01-20 举报
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