已知a∈R，函数f（x）=x2-2ax+5．（1）若不等式f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数a的最值范围；（2）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值．

Question

已知a∈R，函数f（x）=x²-2ax+5．
（1）若不等式f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数a的最值范围；
（2）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值．

Answer 1

（1）∵x²-2ax+5＞0对任意x∈R恒成立
∴△=4a²-20＜0．
解得−√(5)＜a＜√(5)．
∴实数a的取值范围是（-√(5)，√(5)）．
（2）∵函数f（x）=x²-2ax+5图象的对称轴为x=a（a＞1）．
∴f（x）在[1，a]上为减函数．
∴f（x）的值域为[f（a），f（1）]．
又∵函数f（x）的值域均为[1，a]，
∴

f(a)＝a2−2a+5＝1

f(1)＝1−2a+5＝a

．
解得a=2．