已知函数f（x）=alnx-x+1，g（x）=-x2+（a+1）x+1，若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=alnx-x+1，g（x）=-x²+（a+1）x+1，若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，
∴alnx-x+1≥-x²+（a+1）x+1，
∴a（lnx-x）≥-x²+2x，
∵x∈[1，e]，
∴lnx<1∴a≤(x2-2x)/(x-lnx)，
设t（x）=(x2-2x)/(x-lnx)，x∈[1，e]，
求导，得t′（x）=
((x-1)(x+2-lnx))/((x-lnx)2)，
∵x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx>0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1．
故答案为a≤-1．