已知函数f（x）=124ax3-bx2+（2-b）x+1（x＞0）在x=x1和x=x2处取得极值，且0＜x1＜1＜x2＜2．（Ⅰ）若a，b均为正整数，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若z=a-12b，求z的取值范围．

Question

已知函数f（x）=(1)/(24)ax³-bx²+（2-b）x+1（x＞0）在x=x₁和x=x₂处取得极值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（Ⅰ）若a，b均为正整数，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若z=a-12b，求z的取值范围．

Answer 1

由题意得f′(x)＝(1)/(8)ax2−2bx+2−b，（1分）
∵0＜x₁＜1＜x₂＜2，
∴

f′(0)＞0

f′(1)＜0

f′(2)＞0.

即

2−b＞0

(1)/(8)a−2b+2−b＜0

(1)/(2)a−4b+2−b＞0.

整理得

2−b＞0

a−24b+16＜0

a−10b+4＞0

（3分）
（Ⅰ）由a，b均为正整数得a=7，b=1．（5分）
即f′(x)＝(7)/(8)x2−2x+1，令f′(x)＝(7)/(8)x2−2x+1＞0，
解得：x＜(8−2√(2))/(7)，或x＞(8+2√(2))/(7)．
所以函数f（x）的单调增区间为(−∞，(8−2√(2))/(7))，((8+2√(2))/(7)，+∞)．（8分）
（Ⅱ）由已知得

2−b＞0

a−24b+16＜0

a−10b+4＞0

此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2-b=0，a-24b+16=0，a-10b+4=0所围成的△ABC的内部．（10分）
其三个顶点分别为：A((32)/(7)，(6)/(7))，B(16，2)，C(32，2)，z在这三点的值依次为−(40)/(7)，−8，8，
所以z的取值范围为（-8，8）．（12分）
（无图形，扣1分）