设x>0，y>0．z>0，且x+y=2，x2+y2+z2=6，则xy+yz+zx的取值范围是．

Question

设x>0，y>0．z>0，且x+y=2，x²+y²+z²=6，则xy+yz+zx的取值范围是___．

Answer 1

∵x²+y²+z²=6，
∴x²+y²=6-z²，
∴（x+y）²-2xy=6-z²，
∵x+y=2，
∴xy=(1)/(2)z²-1，
∴xy+yz+zx=（x+y）z+xy=(1)/(2)z²-1+2z=(1)/(2)（z+2）²-3，
∵0<xy≤(1)/(4)（x+y）²=1，
∴0<(1)/(2)z²-1≤1，
∴√(2)<z≤2，
∴2√(2)<xy+yz+zx≤5．
故答案为：（2√(2)，5]．