流速v(x,y,z)=(x3,y2,z4)的流体流过曲面z=4-(x2+y2)和曲面z=0所围成的立体,今有平行于x0z坐标平面截此立体沿y轴正方向哪个界面的流量最大

Question

流速v(x,y,z)=(x3,y2,z4)的流体流过曲面z=4-(x2+y2)和曲面z=0所围成的立体,今有平行于x0z坐标平面截此立体沿y轴正方向哪个界面的流量最大

Answer 1

流速场 v(x,y,z)={x³,y²,z^4},平行于 xoz 的平面 y=y（-2≤y≤2）截得指定立体（倒圆锥）的图形是一等腰三角形：底边长（截圆锥地面圆 x²+y²=4的弦长） a=2√(4-y²),高 h=2-|y|,面积为 S；题目实质是求穿过此类三角形的流量 Q 最大时 坐标 y；
Q=S*(∂v/∂y)=S*y²=(ah/2)*y²=[√(4-y²)](2-|y|)*y²
=(2-t)t²√(4-t²)…………0≤t=|y|≤2；
令 dQ/dt=2t(2-t)√(4-t²)-t²√(4-t²) -t³(2-t)/√(4-t²)=0 可得 Q 最大时 y 坐标；
化简 2t(2-t)(4-t²)-t²(4-t²)-t³(2-t)=0,即：4-t-2t²=0；解得 t=(√17 -1)/4；
在 y=±(√17 -1)/4 处流量最大；