设x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；（Ⅱ）求（yzx+xzy+xyz）2的最小值．

Question

设x＞0，y＞0，z＞0，且x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）求（(yz)/(x)+(xz)/(y)+(xy)/(z)）²的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为x²+y²≥2xy；  
 y²+z²≥2yz；   
 x²+z²≥2xz；
所以x²+y²+z²≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
当且仅当x=y=z时取等号；---------------------（6分）
（Ⅱ）因为(y2z2)/(x2)+(x2z2)/(y2)≥2z²；(y2z2)/(x2)+(x2y2)/(z2)≥2y²；(x2z2)/(y2)+(x2y2)/(z2)≥2x²
所以(y2z2)/(x2)+(x2z2)/(y2)+(x2y2)/(z2)≥x²+y²+z²=1；
而（(yz)/(x)+(xz)/(y)+(xy)/(z)）²=(y2z2)/(x2)+(x2z2)/(y2)+(x2y2)/(z2)+2（x²+y²+z²）≥3
所以（(yz)/(x)+(xz)/(y)+

作业帮用户 2017-10-25 举报

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问题解析

（Ⅰ）利用重要不等式x²+y²≥2xy，通过同向不等式可加性，直接求证：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）利用

(y2z2)/(x2)+(x2z2)/(y2)≥2z²；(y2z2)/(x2)+(x2y2)/(z2)≥2y²；(x2z2)/(y2)+(x2y2)/(z2)≥2x²，推出（(yz)/(x)+(xz)/(y)+(xy)/(z)）²的不等关系，利用已知条件即可求出表达式的最小值．

名师点评

本题考点：

不等式的证明．

考点点评：

本题考查不等式的证明方法综合法的应用，重要不等式的应用，考查分析问题与解决问题的能力．

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