设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=2e−(x+2y)，x＞0，y＞00，其他，Z=X+2Y．（1）求Z的分布函数FZ（Z）及密度函数fZ（Z）；（2）求E（Z）及D（Z）．

Question

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=

2e−(x+2y)，x＞0，y＞0

0         ，其他

，Z=X+2Y．
（1）求Z的分布函数F_Z（Z）及密度函数f_Z（Z）；
（2）求E（Z）及D（Z）．

Answer 1

（1）z≥0，F_Z（z）=P（Z≤z）=P（X+2Y≤z）
=

∫

x 0

dx

∫	(1)/(2)(z−x) 0

2e−(x+2y)dy
=1-e^-z-ze^-z，
z≤0，F_Z（z）=0．
所以
fZ(z)＝FZ′(z)＝

ze−z，z＞0

0，        z≤0

（2）.E(Z)＝

∫

+∞ −∞

zfZ(z)dz＝

∫

+∞ 0

z2e−zdz＝2，
D(Z)＝E(Z2)−E2(Z)＝

∫

+∞ 0

z3e−zdz−4
=6-4=2．