已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3）+2，其中a为常数．（1）若x=1是函数y=f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当a＞0时，若g（x）=f（x）+f′（x），（其中x∈[0，2]），在x=2处取得最小值，

Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3）+2，其中a为常数．
（1）若x=1是函数y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当a＞0时，若g（x）=f（x）+f′（x），（其中x∈[0，2]），在x=2处取得最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3ax²-6x，∴f′（1）=3a-6=0，∴a=2
检验，此时f（x）=2x³-3x²+2，f′（x）=6x²-6x
所以f（x）在（-∞，0）和（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
x=1是f（x）的极小值点，所以a=2
（2）由于g（x）=ax³-3x²+2+3ax²-6x=ax³+（3a-3）x²-6x+2，
则g′（x）=3ax²+（6a-6）x-6
∵a＞0，∴g′（x）=0有两个根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
由于x₁x₂=(−6)/(3a)＜0，则x₁＜0＜x₂，且g（x₁）为极大值，g（x₂）为极小值
由于g（x）在x=2处取得最小值，
所以g（x）在[0，2]上单调递减，即g′（x）≤0在[0，2]上恒成立，
∴

g′(0)≤0

g′(2)≤0

，解得0＜a≤(3)/(4)
则实数a的取值范围是0＜a≤(3)/(4)．