设总体X的概率密度为f（x）=λ2xe−λx，x＞00，其他，其中参数λ（λ＞0）未知，X1，X2，…Xn是来自总体X的简单随机样本．（Ⅰ）求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量．

Question

设总体X的概率密度为f（x）=

λ2xe−λx ，  x＞0

0，  其他

，其中参数λ（λ＞0）未知，X₁，X₂，…X_n是来自总体X的简单随机样本．
（Ⅰ）求参数λ的矩估计量；
（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量．

Answer 1

（1）按照据估计，根据EX＝

.

X

∴EX＝

∫

+∞ 0

λ2x2e−λxdx＝(2)/(λ)＝

.

X

∴

λ

＝(2)/(.X)
（2）构造最大似然函数
L(x1，x2，…，xn；λ)＝πf(xi；λ)＝λ2nπxie−λ

n

i＝1

xi
两边取对数：
lnL＝2nlnλ+

n

i＝1

lnxi−λ

n

i＝1

xi (dlnL)/(dλ)＝0
∴(2n)/(λ)−

n

i＝1

xi＝0
∴λ＝(2n)/(ni＝1xi)＝(2)/(.X)
∴

λ

＝(2)/(.X)