已知函数满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),且f'(0)=1.求f(x)的解析式

Question

已知函数满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y),且f'(0)=1.求f(x)的解析式

Answer 1

f(x)=x+[(x^3)/3].（1）由题意,令x=y=0,有f(0+0)=f(0)+f(0)+0.===>f(0)=0,令x+y=0,有f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)为奇函数.令x=y,有f(2x)=2f(x)+2x^3.===>f(2x)-[(2x)^3]/3=2{f(x)-[(x^3)/3]}.(2)令函数g(x)=f(x)-[(x^3)/3].则由前可知,有g(0)=0,g(x)+g(-x)=0,g(2x)=2g(x).2g"(2x)=2g"(x),===>g"(2x)=g"(x),g"(x)=f"(x)-x^2.===>g"(0)=f"(0)=1.再由g"(2x)=g"(x)(x∈R))知,函数g(x)应是一次函数,可设g(x)=ax+b.由g(0)=0,g"(0)=1,===>g(x)=x.===>x=g(x)=f(x)-[(x^3)/3].===>f(x)=x+[(x^3)/3].分不要了.