证明方程x^n+x^(n-1)+……x^2+x=1(n>=2),在(0,1)内存在唯一实数根x0,并求lim(n趋近无穷)x0

Question

证明方程x^n+x^(n-1)+……x^2+x=1(n>=2),在(0,1)内存在唯一实数根x0,并求lim(n趋近无穷)x0

Answer 1

设f(x)=x^n+x^(n-1)+……x^2+x-1
则f(0)=-1,f(1)=n-1-1=n-2>0,于是f(x)=0在(0,1)内存在实数根,
且容易知道f(x)在(0,1)间严格单调增,于是f(x)=0在在(0,1)内存在唯一实数根x0
f(x0)=x0^n+x0^(n-1)+……x0^2+x0-1=（1-x0^n)*x0/(1-x0)-1=0
令n->无穷,x0^n->0则
f(x0)趋向于x0/(1-x0)-1=0则x0趋向于1/2