高考数学问题:设正理数a1是根号3的一个近似值1,设正理数a1是根号3的一个近似值,令a2=1+[2/(1+a1)],(1)证明根号3介于a1与a2之间(2)证明a2比a1更接近于根号3(3)分析研究上述结论,提出一种求根号

Question

高考数学问题:设正理数a1是根号3的一个近似值
1,设正理数a1是根号3的一个近似值,令a2=1+[2/(1+a1)],
(1)证明根号3介于a1与a2之间
(2)证明a2比a1更接近于根号3
(3)分析研究上述结论,提出一种求根号3的有理近拟值的方法
最好解析一下

Answer 1

(1)
一楼的思路正确
（a1-√3）*(a2-√3）
=（a1-√3）*(1+2/（1+a1)-√3）
=(a1-√3）*(2+（1-√3）*(1+a1))/(1+a1)
=(a1-√3）*(3-√3+(1-√3)*a1)/(1+a1)
=(a1-√3）*(1-√3)*(a1-√3)/(1+a1)
=-(√3-1)*(a1-√3)^2/(1+a1)0，根据(1)、(2)中的结论不难判断出a(n)全部大于0
因此b(n)也全部大于0，自然X也不可能等于负数，
上面关于X的方程可整理为
X^2=3,于是X=√3
同理，可得Y=√3
数列a(n)奇数项和偶数项都以√3为极限，必然a(n)也以√3为极限
由a(n)的首项为有理数，观察a(n)的递推公式可得出a(n)全为有理数
因此数列a(n)构成一种求根号3的有理近拟值的方法