已知函数f（x）=(a/3)x3+(b/2)x2+cx,当b>a>0时,函数y=f（x）在R上单调递增,求(a+b+c)/(b-a)的最小值?

Question

已知函数f（x）=(a/3)x3+(b/2)x2+cx,当b>a>0时,函数y=f（x）在R上单调递增,求(a+b+c)/(b-a)的最小值?

Answer 1

∵f（x）=(a/3)x³+(b/2)x²+cx
∴f‘（x）=ax²+bx+c （求导）
又∵y=f（x）在R上单调递增
∴f（x）的两个极值点重合,即只有一个极值点
∴f‘（x）=ax²+bx+c=0有两等根
∴b²-4ac=0
b²=4ac
b²/4a²=c/a
又∵b>a>0
∴b/a>1
令t=b/a>1,则
c/a=b²/4a²=t²/4
于是
(a+b+c)/(b-a)
=（1+b/a+c/a）/（b/a -1） （分子分母同时除以a）
=（1+t+t²/4）/（t-1）
=（t²/4-t/4+5t/4-5/4+9/4）/（t-1）
=t/4+5/4+9/[4(t-1)]
=t/4-1/4+3/2+9/[4(t-1)]
=(t-1)/4+9/[4(t-1)]+3/2 （∵t>1 ∴t-1>0 ∴前两项非负满足均值不等式应用条件）
≥2√（9/16）+3/2 （等号当且仅当(t-1)/4=9/[4(t-1)]时,即t=4时取得）
=3
即(a+b+c)/(b-a)的最小值为3