1、若n阶矩阵满足A^2-2A-4I=O,试证明A+I可逆,并求（A+I)^-1.2、若三阶矩阵A的伴随矩阵为A*,已知|A|=1/2,求|（3A)^-1-2A*|的值.

Question

1、若n阶矩阵满足A^2-2A-4I=O,试证明A+I可逆,并求（A+I)^-1.
2、若三阶矩阵A的伴随矩阵为A*,已知|A|=1/2,求|（3A)^-1-2A*|的值.

Answer 1

1.因为 A^2-2A-4I=O
A(A+I) -3(A+I) = I
即 (A-3I)(A+I) = I
所以 A+I 可逆,且 (A+I)^-1 = A-3I
2.A* = |A|A^-1 = (1/2)A^-1
|(3A)^-1-2A*|
= |(1/3)A^-1 - 2(1/2)A^-1|
= | (-2/3)A^-1|
= (-2/3)^3 |A^-1|
= (-2/3)^3 * 2
= - 16/27