微分的问题,好的话加50分?微分定义中有△y=A△x+o(△x)又因为△y=dy+o(dy)---等阶,且dy=A△x,代换后o(△x)=o(dy),这个式子成立吗?成立的话.代换一下o(△x)=o(x的导数*△x),然后这个式子该怎么理解啊?

Question

微分的问题,好的话加50分?
微分定义中有△y=A△x+o(△x) 又因为 △y=dy+o(dy)---等阶,且dy=A△x,代换后o(△x)=o(dy),这个式子成立吗?成立的话.代换一下o(△x)=o(x的导数*△x),然后这个式子该怎么理解啊?

Answer 1

dy=A△x是错的.
dy=Adx的推导过程如下：dy/dx=A,dy=Adx,则有△y=A△x+o(△x).
再解释你的错误原因：
首先,o（△x）的意思是△x的高阶无穷小,o(dy)的dy的高阶无穷小,比如对于x而言,x^3即为x的高阶无穷小（x趋于0）,假设y=x^5的也为x的高阶无穷小,难道说o(dy)=o(△x)?这个根本无法比较；
其次,微分和求导是完全两种概念,微分简单说就是变量的微小变化；而求导是自变量微小变化引起因变量变化的极限.定义本身就不同,可能有个问题在于总之dx与△x都是对x的微小变化,但是因为引入了极限概念就不是那么容易的事情,所以定义中可以写△y=A△x+o(△x)；也可以写dy=Adx,但绝对没有dy=A△x的道理.简单说就是因为求极限的情况下高阶无穷小量是可以省略的,但是在微分中,高阶无穷小量不能省略.因此,就是那么一点点的差别会导致这个代换无法进行.