设函数f（x）在区间[0，1]上连续，且f（x）＞0，记I1=∫10f（x）dx，I2=∫π20f（sinx）dx，I3=∫π40f（tanx）dx，则（）A．I1＞I2＞I3B．I2＞I1＞I3C．I2＞I3＞I1D．I3＞I2＞I1

Question

设函数f（x）在区间[0，1]上连续，且f（x）＞0，记I₁=

∫

1 0

f（x）dx，I₂=

∫

(π)/(2) 0

f（sinx）dx，I₃=

∫

(π)/(4) 0

f（tanx）dx，则（　　）

A．I₁＞I₂＞I₃
B．I₂＞I₁＞I₃
C．I₂＞I₃＞I₁
D．I₃＞I₂＞I₁

Answer 1

设t=sinx，0≤x≤(π)/(2)，
则dt=cosx dx，
从而，dx=(dt)/(cosx)=(dt)/(√(1−t2))，
故I₂=

∫

(π)/(2) 0

f(sinx)dx=

∫

1 0

(f(t))/(√(1−t2))dt．
设u=tanx，0≤x≤(π)/(4)，
则du=(dx)/(cos2x)=(dx)/(1+u2)，
故I₃=

∫

(π)/(4) 0

f(tanx)dx=

∫

1 0

(f(u))/(1+u2)du．
因为积分值与积分变量无关，故
I₂=

∫

1 0

(f(t))/(√(1−t2))dt=

∫

1 0

(f(x))/(√(1−x2))dx，
I₃=

∫

1 0

(f(u))/(1+u2)du=

∫

1 0

(f(x))/(1+x2)dx．
因为f（x）＞0，
故当0＜x＜1时，
(f(x))/(√(1−x2))＞f（x）＞(f(x))/(1+x2)．
由定积分的保序性质可得，
I₂＞I₁＞I₃．
故选：B．