多元函数极值问题函数u=x平方+y平方+z平方,约束条件是z=x平方+y平方,x+y+z=4,求最大值最小值,书上的解释是,从目标函数和两个约束条件能看出x和y出现在对称的位置,这样就能判断驻点出现在x=y

Question

多元函数极值问题
函数u=x平方+y平方+z平方,约束条件是z=x平方+y平方,x+y+z=4,求最大值最小值,书上的解释是,从目标函数和两个约束条件能看出x和y出现在对称的位置,这样就能判断驻点出现在x=y上,这是什么意思啊?我想了半天也想不出来

Answer 1

我是个高一的,不知道什么驻点.
u=z+z^2
且z=x^2+y^2,代入
x+y+z=4
得
x+y=4-(x^2+y^2)
平方
(x+y)^2=(x^2+y^2-4)^2
由不等式
x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2成立
代入即
(x^2+y^2-4)^2≤2(x^2+y^2),用z即为
(z-4)^2≤2z
解得z∈[2,8]
于是u=(z+0.5)^2-0.25
其最大值为72
最小值为6