数学题一道n>3,请证明x^n+y^n=z^n的xyz没有正整数解.

Question

数学题一道
n>3,请证明x^n+y^n=z^n的xyz没有正整数解.

Answer 1

假设X^n+Y^n=Z^n,其中XYZn为正整数,当n>3时,XYZ有正整数解,设n=3+m,而我们知道：
方程X^3+Y^3=Z^3是有解的：x=a^3-b^3,y=3ab,z=a^3+b^3,那么
x^(3+m)+y^(3+m)=z^(3+m)意味着：x^3(x^m-1)+y^3(y^m-1)=z^3(z^m-1)
这样,x^m-1=1,y^m-1=1,z^m-1=1,x=3^(1/m),y=3^(1/m),z=3^(1/m)
所以：x=y=z,x^n+y^n=3x^n=z^n=x^n,得出：3=1,矛盾,因此原方程没有正整数解.