设n为正整数，由数列1，2，3，…n分别求相邻两项的和，得到一个有n-1项的新数列；1+2，2+3，3+4，…（n-1）+n即3，5，7，…2n-1．对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个

Question

设n为正整数，由数列1，2，3，…n分别求相邻两项的和，得到一个有n-1项的新数列；1+2，2+3，3+4，…（n-1）+n即3，5，7，…2n-1．对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项．（1）记原数列为第一个数列，则第三个数列的第2项是______（2）最后一个数列的项是______．

Answer 1

第三个数列的第2项是：5+7=12；
由题意可知最后一个数列的项an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），
即(an)/(2n)=(an-1)/(2n-1)+(1)/(4)，
所以数列{(an)/(2n)}是首项为(1)/(2)，公差为(1)/(4)的等差数列；
则(an)/(2n)=(1)/(2)+(1)/(4)(n-1)=(n+1)/(4)，
所以a_n=（n+1）•2^n-2（n∈N^*），
即最后一个数列的项是 （n+1）•2^n-2（n∈N^*）．
故答案为：12；（n+1）•2^n-2（n∈N^*）．