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一道简单的高数题求面密度为ρ0的均匀半球壳x^2+y^2+z^2=a^2(z>=0)对于z轴的转动惯量
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一道简单的高数题
求面密度为ρ0的均匀半球壳x^2+y^2+z^2=a^2(z>=0)对于z轴的转动惯量
求面密度为ρ0的均匀半球壳x^2+y^2+z^2=a^2(z>=0)对于z轴的转动惯量
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答案和解析
均匀半球壳x^2+y^2+z^2=a^2(z>=0)∑在xoy面上的投影区域是D:x^2+y^2≤a^2dS=a/√(a^2-x^2-y^2) dxdy转动惯量Iz=∫∫(∑) ρ0(x^2+y^2)dS=∫∫(D) ρ0(x^2+y^2) a/√(a^2-x^2-y^2) dxdy=ρ0a∫(0~2π)dθ∫(0~a) ρ^3/√(a^2-ρ^2) dρ=ρ0×a×2π×∫(0~a) ρ^3/√(a^2-ρ^2) dρ ∫(0~a) ρ^3/√(a^2-ρ^2) dρ=-1/2×∫(0~a) ρ^2 d√(a^2-ρ^2),令t=√(a^2-ρ^2),则∫(0~a) ρ^3/√(a^2-ρ^2) dρ=1/2×∫(0~a) (a^2-t^2) dt=2a^3/3 ∴Iz=∫∫(∑) ρ0(x^2+y^2)dS=ρ0×a×2π×2a^3/3=4ρ0πa^4/3
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