已知圆C（x-3)^2+(Y-4)^2=1,P(x,y)为圆上动点,求1.d=x^2+y^2的最小值2.求Y+1/X+1的最大值最小值3.求d=x+2y的取值范围

Question

已知圆C（x-3)^2+(Y-4)^2=1,P(x,y)为圆上动点,求
1.d=x^2+y^2的最小值
2.求Y+1/X+1的最大值最小值
3.求d=x+2y的取值范围

Answer 1

1.d=x^2+y^2 的最小值, 从几何上考虑,相当于以原点为圆心,半径为r的圆与圆C外切时的情况,此时r =OC -1=5-1=4, 1.d=x^2+y^2的最小值为16.
2. Y+1/X+1的最大值最小值转化为过点(-1,-1)的动直线与圆C相切时的情况,设k =(y+1)/(x+1)
即 kx-y +k-1=0, 根据点到直线的距离公式,圆心C(3,4)到直线 kx-y +k-1=0 的距离为1.
得 |4k -5| =5, 解得,k=0, 或 k=5/2, 所以 Y+1/X+1的最大值最小值分别为5/2、0.
3.求d=x+2y的取值范围
令x=3+cosα,y=4+sinα, d=x+2y=11+2sinα+cosα =11+根号5*sin(α +t )
所以,11 -根号5≤d≤11+根号5